As Idades dos Três Irmãos: Uma Progressão Aritmética
Você já se perguntou como as idades dos irmãos podem ser relacionadas entre si? Neste artigo, exploraremos o conceito de progressão aritmética e como ele pode ser aplicado às idades dos três irmãos.
Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Neste caso, vamos considerar as idades dos três irmãos como os termos da progressão.
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Suponha que o irmão mais velho tenha uma idade de x anos. Como a diferença entre os dois irmãos é constante, podemos dizer que o irmão do meio tem uma idade de x – d e o irmão mais novo tem uma idade de x – 2d, onde d é a diferença entre as idades.
Agora, podemos montar uma tabela para representar as idades dos três irmãos:
| Irmão mais velho | Irmão do meio | Irmão mais novo |
|---|---|---|
| x | x – d | x – 2d |
Ao estudar essa tabela, podemos perceber que a soma das idades dos três irmãos é igual a 3x – 3d, já que cada termo da progressão aparece uma vez. Além disso, a média das idades dos três irmãos é igual a (x + (x – d) + (x – 2d))/3, que simplificada é igual a (3x – 3d)/3, ou seja, igual à soma das idades dividida por 3.
Agora que entendemos como as idades dos três irmãos podem ser representadas por uma progressão aritmética, vamos explorar algumas aplicações práticas desse conceito e como ele pode ser útil na resolução de problemas relacionados às idades.
Qual é o termo geral da progressão aritmética 1, 5, 9, 13?
O termo geral da progressão aritmética 1, 5, 9, 13 pode ser encontrado ao determinar a razão da sequência. Para isso, subtraímos um termo consecutivo pelo termo anterior. No caso dessa progressão, a diferença entre os termos é de 4, portanto a razão é 4.
Com a razão determinada, podemos escrever o termo geral da progressão aritmética, utilizando a fórmula: an = a1 + (n – 1) * r, onde an é o termo que queremos encontrar, a1 é o primeiro termo da sequência, n é a posição do termo na sequência e r é a razão.
Aplicando a fórmula, temos: – Para o 5º termo: a5 = 1 + (5 – 1) * 4 = 1 + 4 * 4 = 1 + 16 = 17 – Para o 10º termo: a10 = 1 + (10 – 1) * 4 = 1 + 9 * 4 = 1 + 36 = 37 – Para o 23º termo: a23 = 1 + (23 – 1) * 4 = 1 + 22 * 4 = 1 + 88 = 89
Portanto, o termo geral da progressão aritmética 1, 5, 9, 13 é dado por an = 1 + (n – 1) * 4, onde n representa a posição do termo na sequência.
Qual é uma an?
“An” é um artigo indefinido utilizado em inglês para indicar singularidade e indeterminação. Ele é usado especificamente quando o som da primeira letra do substantivo é uma vogal. Por exemplo, quando se quer dizer “um envelope” em inglês, utiliza-se “an envelope”, pois a pronúncia da palavra “envelope” começa com o som de vogal. O mesmo ocorre com “an animal”, que significa “um animal”.
É importante destacar que o uso de “an” não está relacionado com o gênero do substantivo, mas sim com o som da primeira letra. Portanto, mesmo que o substantivo seja masculino, se o som da primeira letra for uma vogal, utiliza-se “an”. Por exemplo, “an hour” (uma hora) e “an honest person” (uma pessoa honesta).
Qual é a razão de uma PA que se obtém ao inserir 5 termos entre 2 e 38?
Ao inserir 5 termos entre 2 e 38 em uma progressão aritmética (PA), podemos determinar a razão da PA. Uma PA é uma sequência numérica em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Nesse caso, temos 7 termos (2 e 38, mais 5 termos intermediários), o que significa que teremos 6 intervalos entre eles. Para determinar a razão da PA, podemos usar a fórmula geral para o termo geral de uma PA: an = a1 + (n-1) * r, onde an é o termo geral, a1 é o primeiro termo da PA, n é o número de termos e r é a razão. Substituindo os valores conhecidos, temos: 38 = 2 + (7-1) * r. Simplificando a equação, obtemos: 36 = 6r, o que nos dá r = 6. Portanto, a razão da PA que se obtém ao inserir 5 termos entre 2 e 38 é 6.
Qual é a razão de uma progressão aritmética de seis termos cuja soma dos três primeiros números da sequência é igual a 12 e a soma dos dois últimos é igual a 34?
A razão de uma progressão aritmética de seis termos pode ser encontrada através das informações fornecidas na pergunta. Sabemos que a soma dos três primeiros números da sequência é igual a 12 e a soma dos dois últimos é igual a 34. Através disso, podemos formar duas equações com base na fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética.
Seja ‘a’ o primeiro termo da sequência e ‘r’ a razão, temos:
a + (a + r) + (a + 2r) = 12 (equação 1)
(a + 3r) + (a + 4r) = 34 (equação 2)
Resolvendo as equações, encontramos que o primeiro termo ‘a’ é igual a 4 – r e a razão ‘r’ é igual a -6. Portanto, a razão da progressão aritmética é -6.
